1.(2020·广西钦州期末)已知a,b∈R,a2+b2=15-ab,则ab的最大值是( )
A.15 B.12
C.5 D.3
【答案】C.
【解析】:因为a2+b2=15-ab≥2ab,所以3ab≤15,即ab≤5,当且仅当a=b=±时等号成立.所以ab的最大值为5.故选C.
2.(2020·揭阳模拟)设非零实数a,b,则“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为a,b∈R时,都有a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,即a2+b2≥2ab,而+≥2成立的条件是ab>0,所以“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的必要不充分条件.
3.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
【答案】B
【解析】由题意知ab=1,∴m=b+=2b,n=a+=2a,∴m+n=2(a+b)≥4=4,当且仅当a=b=1时取等号,故m+n的最小值为4.
4.(2020·郑州外国语学校月考)若a>b>1,P=,Q=(lg a+lg b),R=lg ,则( )
A.R<P<Q B.Q<P<R
C.P<Q<R D.P<R<Q
【答案】C
【解析】因为a>b>1,所以lg a>0,lg b>0,且lg a≠lg b,所以<(lg a+lg b),由<,得lg<lg .所以(lg a+lg b)<lg ,综上知P<Q<R.
A.15 B.12
C.5 D.3
【答案】C.
【解析】:因为a2+b2=15-ab≥2ab,所以3ab≤15,即ab≤5,当且仅当a=b=±时等号成立.所以ab的最大值为5.故选C.
2.(2020·揭阳模拟)设非零实数a,b,则“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为a,b∈R时,都有a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,即a2+b2≥2ab,而+≥2成立的条件是ab>0,所以“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的必要不充分条件.
3.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
【答案】B
【解析】由题意知ab=1,∴m=b+=2b,n=a+=2a,∴m+n=2(a+b)≥4=4,当且仅当a=b=1时取等号,故m+n的最小值为4.
4.(2020·郑州外国语学校月考)若a>b>1,P=,Q=(lg a+lg b),R=lg ,则( )
A.R<P<Q B.Q<P<R
C.P<Q<R D.P<R<Q
【答案】C
【解析】因为a>b>1,所以lg a>0,lg b>0,且lg a≠lg b,所以<(lg a+lg b),由<,得lg<lg .所以(lg a+lg b)<lg ,综上知P<Q<R.