已知圆C经过点(0,2),(2,0)，且圆心在直线x+y=0上，直线l的方程为x+y-4=0，点P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，B. （1）求圆C方程；

已知圆C经过点(0,2),(2,0)，且圆心在直线x+y=0上，直线l的方程为x+y-4=0，点P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，B.
（1）求圆C方程；
（2）证明直线AB恒过定点，并求（O为坐标原点）面积的最大值.
【答案】（1），（2）最大值为 2；
【解析】
【分析】
（1）通过待定系数法结合题意列方程求解参数即可得圆 方程；
（2）设点 的坐标为，求以 为圆心， 长为半径的圆的方程，于是直线即为此圆与圆的相交弦，将两圆的方程作差即可得直线的方程，进而证明直线恒过定点，设原点到直线 的距离为，再把面积用 来表示，结合二次函数图象与性质即可求得面积的最大值．
【详解】解：（1）设圆 的方程为，
由题可知，解得，
 圆方程为．
（2）证明：设点 的坐标为，
以 为圆心， 长为半径的圆为，
所以直线 的方程为，
化简得，
又因为点 在直线 上，所以，即，
所以直线 的方程为，
整理得，
由直线恒过定点得，解得，
所以直线 恒过定点，
设原点到直线 的距离为，则
，
弦长，
所以，
当 时，取得最大值 2．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，待定系数法求圆的方程，切点弦方程的求法，考查函数思想，数学运算，属于中档题．